暑期班 Summer Class 2010

引言 內容簡介 詳情 獎學金 教授
  • 數學英才精進課程 2010 暑期班（七月份）現在歡迎老師參與旁聽！詳情請參閱這裏
  • EPYMT 2010暑期班報名及評核已經結束，申請結果已經寄達報名同學的登記的電郵地址，敬請留意。

引言

幾何學的應用廣泛深刻，發展源遠流長，是數學的重要分支。中學數學課程所涵蓋的，只是簡單的「歐幾里德幾何」和以坐標系統來描述的「解析幾何」。 這些傳統的幾何學早在18世紀以前，便已發展完備。而推動近代幾何進展的「非歐幾何」和「微分幾何」卻是在19世紀以後才告面世的。 這些劃時代的幾何學不單結集了偉大的數學家如高斯、羅巴切夫斯基、黎曼和龐卡萊等對幾何的深思與創見；它們的出現更標誌著人類在幾何學上的飛躍與革新。 愛恩斯坦解構時空的「廣義相對論」正是建立在這新發展的幾何上的。

另一方面，數論在數學研究中的地位超然，是推動數學發展的主要動力之源，它極端困難的問題和精妙深刻的定理，向來是大數學家如費馬 (Fermat)、歐拉 (Euler)、高斯 (Gauss) 和黎曼 (Riemann) 等廢寢忘餐， 鍥而不捨的研究對象。時至今日，數論的研究成果不僅引人注目，而且，近十多年來在科學技術，持別是在計算機及資訊科技方面獲得越來越重要的應用。尖端的密碼學所應用的代數幾何學 (Algebraic Geometry) 與解決費馬大定理 (Fermat Last Theorem) 的橢圓曲線 (Elliptic Curves) 理論，正是數論研究所衍生而來的！

「數學英才精進課程」在這個暑期，將圍繞這些近代數學的主流課題，分別開設「微分幾何初探」，「複數的幾何面貌」*，「複數與非歐幾何」和「數論與密碼學」 四門精采的課程，向熱衷數學，有興趣探索、理解奇妙數學世界的高中同學，介紹近代幾何及數論的入門知識，「微分幾何初探」和「數論與密碼學」專為高中同學而設，不要求高等數學作預備知識。 至於「複數與非歐幾何」，則需要具備超越中學數學的知識，通常須先修讀了「微分幾何初探」。同學可按個人的興趣與程度，選擇其中科目修讀，讓豐富新奇的數學知識伴你渡過一個有意義的暑假！

* 「複數的幾何面貌」乃一非學分新科目，完成此科目者如入讀中文大學數學系將不能以此科目申請扣減課業學分。

老師參與

課程現歡迎老師參與，費用全免。詳情請參閱這裏。

內容簡介

「微分幾何初探」Towards Differential Geometry
本科目尤其適合中五或初次參加的同學修讀，亦歡迎較低年級卻已達中五程度的同學參加。我們將微積分與幾何直觀緊密結合起來，引領同學跳出直線、平面和圓錐曲線的桎梏，進入多姿多釆的曲線與曲面的天地裏。同學將學習到偏微分；曲線的切向量、法向量和曲率；曲面的切平面、測地線和高斯曲率。由此，同學將可精確地描述空間的曲線運動，計算曲面的面積，並進一步認識如Gauss-Bonnet 等深刻的幾何定理。

「複數的幾何面貌」Geometric Perspectives of Complex Numbers *
本科目適合中學階段已對座標幾何有濃厚興趣的同學。我們將學習複數的性質並利用複數來計算並推廣在中學座標幾何的課程中已有的幾何概念，並利用複數的運算法則來解釋基礎的幾何變換。這科目的目標在於擴闊學生在高等數學的視野，並明白複數的代數性質與幾何概念如何交互影響，並帶來更深層的理解。此科目亦可以作為「複數與非歐幾何」的預備課。

* 「複數的幾何面貌」乃非學分科目。

「數論與密碼學」Number Theory and Cryptography
課程經悉心編排，精煉深入，專為中學生而設，不要求任何高等數學作預備知識。同學將由淺入深，先學習數論的入門知識，包括：整數的整除性、歐幾裡得演算法、同餘式、「中國剩餘定理」、數論函數、歐拉定理、費馬小定理、丟番圖方程、二次互反律等。接著，再進一步學習密碼學的編碼與解碼理論，包括現代有關公開密鑰體制 (Public Key Cryptosystem) 及當中著名的 RSA 密鑰體制的理論基礎。

「複數與非歐幾何」Complex Numbers and Non-Euclidean Geometry
本科目特別適合程度較高或曾參與課程的同學作進階修讀。我們將以複平面為起點，討論它的特殊幾何結構，以及其上變換的對稱性和保圓性，並介紹複平面與球面的對應和Mobius變換；掌握了這些知識後，同學便可從一個現代的幾何觀點去理解各種「非歐幾何」異常有趣的性質，包括：平行與超平行、非歐距離、常曲率空間和非歐三角學等。

要善用暑期，要嘗試了解近代數學的發展？參加「數學英才精進課程」的暑期班是你的最佳選擇。

科目詳情
主題
    學分科目
  1. 微分幾何初探 Towards Differential Geometry
    (適合初次報讀同學)
  2. 數論與密碼學 Number Theory and Cryptography
  3. 複數與非歐幾何 Complex Numbers and Non-Euclidean Geometry
    (適合入學試成績優良或曾修讀「微分幾何初探」課程之同學)
    非學分科目
  1. 複數的幾何面貌 Geometric Perspectives of Complex Numbers*
    (適合初次報讀同學)
入學方法 網上申請
上課日期、時間及地點 「微分幾何初探」及「複數的幾何面貌」於2010年6月7日至6月30日期間於香港中文大學上課。

基本課逢星期一、三、五的上午，導修課安排在基本課當天下午。

SunMonTue WedThuFriSat
　 　 Jun 1#
(am)		 Jun 2#
(am)		 Jun 3#
(am)		 Jun 4#
(am)

　		 Jun 7 　 Jun 9 　 Jun 11 　

　		 Jun 14 　 端午節 　 Jun 18 　

　		 Jun 21 　 Jun 23 　 Jun 25 　

　		 Jun 28 Jun 30
(補課)		 　

#「微分幾何初探」設有四天的預備先修課，專為中五的同學作基礎知識訓練。

上課日期、時間及地點 「微分幾何初探」、「複數與非歐幾何」及「數論與密碼學」於2010年7月12日至8月2日期間於香港中文大學上課。

基本課逢星期一、三、五的上午,導修課安排在基本課當天下午。

SunMonTue WedThuFriSat
　 　 　 　

　		 Jul 12 　 Jul 14 　 Jul 16 　

　		 Jul 19 　 Jul 21 　 Jul 23 　

　		 Jul 26 　 Jul 28 　 Jul 30 　
　 Aug 2
(補課)		 　 　 　
形式 課程將以授課和導修的形式進行。
學業評核主要包括課堂與習作表現及小測等。
對象 不論級別的中學生，但數學能力必須超越一般的中五程度。曾在2009年研習的學生將獲優先考慮。
學分認可、
學費、獎學金
  • 科目總成績合格的學生將獲頒授証書。
  • 學分科目合格的學生如入讀香港中文大學學士學位課程，該科可獲大學承認2學分。
  • 根據大學規定，學費為每科港幣二千元。
  • 本課程有多項獎學金，給予學業良好或積極參予的學員。

教授
溫有恒教授 香港中文大學
區國強教授香港中文大學
張亮夫博士香港中文大學
李俊捷博士香港中文大學
方穎聰博士香港中文大學
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